El Hotel Infinito de Hilbert

El gran matemático alemán David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Se lo reconoce mundialmente como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX, y ha contribuido a esa ciencia desarrollando conceptos como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hizo aportes significativos a la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general, e incluso algunos historiadores sostienen que descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein, aunque esto nunca ha sido probado. En 1900 presentó un conjunto de 23 problemas matemáticos que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Parte de su trabajo se relacionó con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, explicando algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo.

Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... y así hasta el infinito. Lo primero que tenemos que recordar es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, podemos intentar comprender las paradojas que plantea el Gran Hotel de Hilbert.
¿Son infinitas las partículas que componen el universo?
¿Son infinitas las partículas que componen el universo?


Infinito + 1
Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.

Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?

Hotel infinito, pasajeros infinitos
Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso?

Hotel infinito y pasajeros infinitos en autobuses infinitos
Así planteado, parecería que el hotel no puede llenarse nunca. Imaginemos por un momento que al Gran Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El problema exigió que la inteligente recepcionista demorase un par de segundos en encontrar una solución. Se acomodó las gafas, se arrimó al intercomunicador, y le pidió a todos los pasajeros que se encontraban en una habitación cuyo número fuese primo (números solo divisibles por si mismos o por la unidad), o alguna potencia de estos, que calculasen el resultado de elevar el número 2 a la potencia correspondiente al número de la habitación en la que se encontraban y se cambiasen a esa habitación. Esto provocó algún que otro revuelo entre los pasajeros, pero finalmente todos los implicados en el cambio llegaron a su nueva habitación.

Hecho esto, la recepcionista sonrío con aires de suficiencia y asignó a cada uno de los autobuses un número primo (distinto de 1), y a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar. Hizo que cada uno de los nuevos pasajeros calculasen el numero de habitación que le correspondía elevando el número primo correspondiente a su autobús al número impar que le tocó. Dado que existe una cantidad infinito de números primos, y un número infinito de números impares, se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones.

Números transfinitos
El relato anterior podría inducir a pensar que no puede haber un infinito mayor que otro. Pero no es así. Georg Cantor (1845-1918), otro matemático alemán, descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño o -matemáticamente hablando- no tienen el mismo cardinal. Por ejemplo, el conjunto de los racionales es numerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es. Existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, incluso los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real. Estos infinitos componen la “terrible dinastía” -como la denominó el escritor argentino Jorge Luis Borges- de los números transfinitos. Cantor designo estos “infinitos grados de infinitud” con la letra hebrea álef (de allí el título del famoso cuento de Borges) y los correspondientes subíndices. Álef subcero (o álef-0) es el simple infinito de los números naturales, que Hilbert utilizó como base para las paradojas de su Gran Hotel. Álef-1 es el infinito de los números reales, que incluyen a los irracionales y los trascendentes, como pi, y no son numerables. Existen infinitos “Álef”, y constituyen un concepto cuya comprensión suele demandar unas cuantas horas de meditación por parte de los simples mortales.

David Hilbert falleció el 14 de febrero de 1943 en Göttingen, Alemania, y dicen que su espíritu suele aparecerse por las noches en alguna de las infinitas habitaciones de su Gran Hotel.

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